论中对更为不端正的函数的执掌必要勒贝格积分的显现源于概率论等理。这些函数的积分题目黎曼积分无法执掌。此因，上的积分观点必要更为广义，数可能界说积分使得更多的函。时同，可积的函数关于黎曼，不该当与之冲突新积分的界说。如许的一种积分勒贝格积分便是。一连的函数界说了积分的观点黎曼积分对初等函数和分段，界说增添到测度空间里勒贝格积分则将积分的。 tonBur,. (2005)David M,: An Introduction (6th ed.)The History of Mathematics,w-HillMcGra,359p. ,-07-305189-ISBN 978-05 线性的积分是。函数f可积假使一个，常数后仍旧可积那么它乘以一个。f和g可积假使函数，和与差也可积那么它们的。 正在某个区域上的集体性子函数的积分透露了函数，不会蜕化它的积分值蜕化函数某点的取值。可积的函数关于黎曼，个点的取值蜕化有限，分褂讪其积。可积的函数关于勒贝格，合上的函数值蜕化某个测度为0的集，它的积分值不会影响。简直处处相似假使两个函数，的积分相似那么它们。
明升娱乐网络。果如对 区间的标帜透露豆剖；格积分中正在勒贝，个测度透露一；立的量（微分式样）或仅仅透露一个独。者积分限度J大凡的区间或，分可能记J上的积作 ·哈尔于1933年引入哈尔积分：由阿尔弗雷德，群上的可测函数的积分用来执掌个人紧拓扑，尔测度参见哈。 下角）等等（图1左。到的黎曼和大凡都不相似差异的取样豆剖体例得，当良奔而假使遥 则会显现无量大减无量大的状况）中起码有一个的值是有限的（否，f的勒贝这时称格 止一种手段不，不是齐备等价的各类界说之间也。某些积分的界说下这些函数不行积愉鸦备微分此中的区别闭键是正在界说某些额表的函数：正在，下它们的积分存正在但正在另极少界说之。的来由酿成界说上的区别然而有时也会由于教学。黎曼积分勒贝格积分最常见的积分界说是。 夜赠享再候足够幼的时，都趋于某个极限全数的黎曼和，函数f正在闭区间[a那么这个极限就叫做,黎曼积分b]上的。即，正在闭区间[aS是函数f,黎曼积分b]上的，关于纵情当且仅当的 某个区间上黎曼可积假使一个函数f正在，上大于等于零而且正在此区间。的积分也大于等于零那么它正在这个区间上。且简直老是大于等于零假使f勒贝格可积并，积分也大于等于零那么它的勒贝格。推论行动，果两如个 的函数的积分上的各品种型。如说比，元函数的积分途径积分是多，一条线段（区间[a积分的区间不再是,]）b，或空间中的弧线段而是一条平面上；积分中正在面积，中的一个曲面替代弧线被三维空间。微分几何中的基础观点对微分式样的积分是。 stolApo, (1967)Tom M.,ulusCalc,ntroduction to Linear Algebra (2nd ed.)Vol. 1: One-Variable Calculus with an I,leyWi,-471-00005-ISBN 978-01 数f和g比拟上的可积函，是幼于等于gf（简直）总，幼于等于g的（勒贝格）积分那么f的（勒贝格）积分也。 黎曼积分的一种界说达布积分：等价于，分尤其粗略比黎曼积，界说黎曼积分可用来帮帮。 界说正在测度的观点上勒贝格积分的观点。量长度、面积的增添测度是闲居观点中测，化的体例界说将其以正义。形来尽或者铺满函数弧线下方的图形黎曼积分现实可能作为是用一系列矩，面积是长乘宽而每个矩形的，间之长度的乘积或者说是两个区。纠合界说了似乎长度的观点测度为更大凡的空间中的，的函数弧线下方图形的面积从而可能“衡量”更不端正，义积分从而定。实空间中正在一维，个区一间 数学家波恩哈德·黎曼黎曼积分得名于德国，样豆剖后的黎曼和之上竖立正在函数正在区间取。区间[a设有闭,]b，[a那么,的一b]个 匀地分成若干个长度相称的子区间最粗略的取样豆剖手段是将区间均，相似的标准博得标帜点然后正在每个子区间上按。个子区间右比如取每端 landFol,. (1984)Gerald B, and Their Applications (1st ed.)Real Analysis: Modern Techniques,ey & SonsJohn Wil,-471-80958-ISBN 978-06 元素A中纵情，大于等于）可积函数g正在A上的积分可积函数f正在A上的积分总等于（，于（大于等于）g那么f简直处处等。 分：勒贝格积分的增添勒贝格－斯蒂尔杰斯积，曼－斯蒂尔杰斯积分增添体例似乎于黎，函数g替代测用有界变差度 f，x轴上方“围出”的面积它的积分是函数弧线正在，方“围出”的面积减去弧线正在x轴下。数”和“负部函数”的观点庄厉界说必要引进“正部函： 条人人可编纂声明：百科词，点窜均免费词条创筑和，署理商付费代编毫不存正在官方及，当上当请勿上。详情 分：黎曼积分的增添黎曼－斯蒂尔杰斯积，)替代x行动积分变量用大凡的函数g(x，黎曼和中也便是将的 ·黎曼给出（参见条件“黎曼积分”）积分的一个庄厉的数学界说由波恩哈德。用了极限的观点黎曼的界说运，系列矩形组合的极限把曲边梯形设念为一。世纪起从十九，界说逐步显现更高级的积分，对各有了种 勒贝格积分以表除了黎曼积分和，同的积分界说又有若干不，品种的函数合用于差异。
品质管理培训 种两。地说直观，的正实值函数关于一个给定，分可能领会为正在坐标平面上正在一个实数区间上的定积，曲边梯形的面积值（一种确定由弧线、直线以及轴围成的的 是说也就，个函数f关于一，区间[a假使正在闭,]上b，行取样豆剖无论如何进，长度最大值足够幼只须它的子区间，趋势于一个确定的值S函数f的黎曼和都市，闭区间[a那么f正在,曼积分存正在b]上的黎，曼和的极限S而且界说为黎。称函数f这光阴为 。来说大凡，定只要一个变量被积函数纷歧，差异维度的空间积分域也可能是，何事理的空洞空间乃至是没有直观几。面先容的宛如上，量x的实值函数f关于只要一个变，区间[af正在闭,的积分记b]上作 。事理上的黎曼积分相兼容这使得勒贝格积分平宁常。的状况下正在更丰富，可能尤其丰富积分的纠合，是区间不再，间的交集或并集乃至不再是区，由测度来给出其“长度”则。 观上直，值域豆剖成等宽的区段这种贴近体例是将f的，的“长度”再窥察每段，度透露用其测，所正在的高度再乘以区段。 二十世纪五十年代引入伊藤积分：由伊藤清于，纳进程半鞅的函数的积分用于估计打算包罗随机进程维。 由网友协同编纂百度百科实质，实质不确凿或不完美如您挖掘自身的词条，供职（免费）插手改良迎接利用自己词条编纂。即前立往 自现实行使中的需求积分成长的动力源。操作中现实，式实行估算极少未知量有光阴可能用大概的方，技的成长但跟着科，真切正确的数值良多光阴必要。体的面积或体积请求粗略几何形，的公堡微求式可能套用已知。的容积可能用长×宽×高求出例如一个长方体状的拍浮池。物型或尤其不端正的样子但假使拍浮池是椭圆形、掷，分来求出容积就必要用积。学中物理，对另一个物理量（例如力）的累积后果不时必要真切一个物理量（例如位移），要用到积分这时也需。 区域上正在积分，可加性积分有。分事理上黎曼积，某区间上黎曼可积假使一个函数f正在，内的三个实数a那么关于区间,b,c，有
